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已有条件 x＝cosθ＋isinθ （即：cisθ） 求证 x^n＋1/(x^n)＝2cis(nθ
已有条件 x＝cosθ＋isinθ （即：cisθ） 求证 x^n＋1/(x^n)＝2cis(nθ)
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推荐答案 2015-07-15
x^n=cosnθ+isinnθ
1/x^n=cosnθ-isinnθ
x^n+1/x^n=2cosnθ
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设复数z
=cosθ+isinθ=
e
^(
i
θ)
,
求证cos
nθ=Re(z
^n)=
【z^(2n)
+1
】/...
答：
=> cos nθ=Re(z^n) and sin nθ=Im(z^n)[z^(2n)+1]/(2z
^n)=(
1/2)z
^n +
(1/2)z^(-n)=(1/2)[cos
nθ+isinnθ
] +(1/2)[cosnθ-isinnθ]
=cosnθ
[z^(2n)-1]/(2iz^n)=[ 1/(2i) ] [ z^n - z^(-n) ]=[1/(2i)]( 2isin
nθ )
=sinnθ ...
证明
(cosθ+isinθ)
∧
n=cosnθ+
isinnθ
答：
证：n=1时，cosθ+isinθ
=cosθ+isinθ
，等式成立。假设当n=k(k∈N*)时等式成立，即(cosθ+isinθ)^k=coskθ+isinkθ 则当n=k+1时，(cosθ+isi
nθ)^(
k
+1)=(cosθ+
isi
nθ)(cosθ+
isinθ)^k =(cosθ+isinθ)(coskθ+isink
θ)=
coskθcosθ+isinkθcosθ+icoskθsinθ+...
证明
(1+cosθ+isinθ)
的
N
次方
=2
的N次方 乘以 cosθ/2(cos nθ/2 +...
答：
所以
用德摩弗定理证明Z
^(n)
–
1
/(Z
^n) = 2i Sin
(nx), Z
= Cos
X
答：
证明：由棣莫弗定理，有(cosθ+isin
θ)^n
=cos
(nθ)+
isin(nθ)，∴z
=cosθ+isinθ
时，有z^n=(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)，1/z^n=z^(-
n)=(cosθ+
isin
θ)^(
-n)=cos(-nθ)+isin(-nθ)=cos(nθ)-isin(nθ)，∴z^n-1/z^n=cos(nθ)+isin(nθ)-[cos(n...
设
x
的n次方=r
(cosθ+isinθ)
求x
答：
化为指数形式，
x^n=
r(e^iθ)，开方得x=r
^(1
/n)e^(iθ/n)，或x=r^(1/n)[
cos(θ
/
n)+isin(θ
/n)]
设θ∈R,n∈
N+
,i是虚数单位,复数z
=cosθ+isinθ
,观察:z
2=
cos
2θ
+isi...
答：
，得出一般性结论为：zn=cosnθ+isinnθ．故答案为cosnθ+isinnθ．可用数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，复数z
1=cosθ+isinθ
，成立
；（2
）假设当n=k时，zk=coskθ+isinkθ成立，则当n=k+1时，zk+1=zk?z=（coskθ+isink
θ）（cosθ+
isi
nθ）=
coskθcosθ-sinkθsinθ+i（cos...
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