如何求矩阵的全部特征值？

Question

如题所述

Answer 1

具体过程如下：

1）由于r(A)=2，故A的另一个特征值为0，且0对应的特征向量与α1和α2正交

故(α3,α1)=0,(α3,α1)=0

=>α3=(-1,1,1)

2）设A在V3中由标准集确定的线性变换为T

则T(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)A

且知T(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B

其中，B=diag{6,6,0}

设C为由(ε1,ε2,ε3)到(α1,α2,α3)的过渡矩阵，则C=

1 2 -1

1 1 1

0 1 1

C^(-1)=0 1 -1

1/3 -1/3 2/3

-1/3 1/3 1/3

则有B=C^(-1)AC<=>A=CBC^(-1)=4 2 2

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

1、计算的特征多项式；

2、求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

3、对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是、

另外，若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。