矩阵的逆的行列式与原矩阵的行列式的关系

Question

如题所述

Answer 1

矩阵的逆的行列式等于原矩阵的行列式的倒数。

假设 A 是一个可逆矩阵，其逆表示为 A^-1。对于任意一个 n 阶矩阵 A，其行列式记作 det(A)。那么有以下关系：

det(A^-1) = 1/det(A)

这个关系可以通过线性代数的性质证明：如果 A 是一个可逆矩阵，则存在一个矩阵 B，使得 AB = BA = I，其中 I 表示单位矩阵。在这种情况下，我们可以应用行列式的性质：

det(AB) = det(A)det(B) = det(B)det(A) det(I) = det(A^-1)det(A) = 1

由此可知，det(A^-1) = 1/det(A)。

需要注意的是，如果原矩阵的行列式为零 (即 det(A) = 0)，则该矩阵不可逆，其逆矩阵不存在。因此，逆矩阵的行列式必须非零才能存在。

矩阵的逆的行列式与原矩阵的行列式的特点

一个矩阵的行列式不为零，那么这个矩阵就是可逆的；此时它的逆矩阵的行列式是原矩阵的行列式的倒数。反之，如果一个矩阵不可逆（即行列式为零），那么它的逆矩阵不存在。

需要注意的是，在实际计算中，我们并不会先求出矩阵的行列式，然后再求出它的逆矩阵，而是直接求出逆矩阵。这是因为求矩阵的逆比求行列式要容易得多。