自然数n恰好有12个因子（包括1和n）,按递增顺序排列为d1<d2<d3<...<d12.

Question

自然数n恰好有12个因子（包括1和n）,按递增顺序排列为d1<d2<d3<...<d12.
已知序号为d4-1的因素等于（d1+d2+d4）*d8
求n

Answer 1

先证明引理：
对于合数M,若其分解质因数的形式为：M = 【(k1)^（p1）】【(k2)^(p2)】【(k3)^(p3)】【(k4)^(p4)】···,(其中，k1、k2、k3、k4···为互异的质数，p1、p2、p3、p4···是自然数)，则M的因子（含1和M）个数为：（p1+1）（p2+1）（p3+1）···
证明：由排列组合的性质可得：
M的因子（含1和M）个数=（p1p2p3+p1p3+p2p3+1）···
=（p1+1）（p2+1）（p3+1）···
故引理得证。
现解决本题。
由题，n有12个因子，根据引理，n可以表示为：
abc^2和a^2·b^3两种形式（a、b、c是互异质数）
已知序号为d4-1的因素等于（d1+d2+d4）*d8 ，d1<d2<d3<...<d12.
显然d1=1,d12=n,d2+d4》2+3=5，d1+d2+d3》6，经过试算得：解不唯一
如：200=2^2·5^3，且200=（1+2+5）·25，（200是已知的最小的解）