你能用一种简单的方法证明一个数可以被另一个数整除吗?

Question

我今天发现了这个了这个规律,
……千位的值*(1000 mod x)+百位的值*(100 mod x)+十位的值*(10 mod x)+个位 的和，如果能被x整除，那么这个数必能被x整除。
(mod 为求余数运算)

比如,我们上小学的时候就学到了如下规律:
如果一个数的个位是2,4,6,8那么这个数必然能够被2整除
那么他的实质又是什么呢?
我觉的可以这样理解:
假设这个命题成立
命题:"……百位的值*(100 mod x)+十位的值*(10 mod x)+个位 的和，如果能被x整除，那么这个数必能被x整除。"
那么 10 mod 2=0,100 mod 2=0,……=0
因此:我们就可以只看个位就能知道一个数是否能够被2整除.
同理:我们只看个位就能知道一个数能否被5整除
同理:我们不能单从个位就能看出一个数能否被(1,2,5除外)其他整除.

同理我们也可以简单的
看出
12345可以被3整除
因为
1+2+3+4+5=15
1+5=6
6可以被3整除

同理
9459363321 可以被 9 整除!
findwo 2006-11-18
因为:1*(10 mod 7)+4=7
所以:14可以被7整除
请理解透了再回答!

Answer 1

结论是正确的。
这种问题可以看做小学数学竞赛中常见的被某数整除速算法的一般讨论。不过当模较大时，10的整幂的余数往往缺乏规律。又因为一般对每个模（除数）要设计一个方法，并且依赖于数的十进制（或某个P进制）表达。所以这个方法的实用价值并不大。
真正困难的是素性检验与因子分解问题，它们才是计算数论中有重大意义的问题。

该命题的证明是显然的：
设所要检验的数是
n = dk * 10^k + d(k-1) * 10^(k - 1) + …… + d2 * 100 + d1 * 10 + d0
又设模为x，则有
n ≡ dk * 10^k + d(k-1) * 10^(k - 1) + …… + d2 * 100 + d1 * 10 + d0 (mod x)
记a / b的余数为a % b，由同余理论知
(dk * 10^k + d(k-1) * 10^(k - 1) + …… + d2 * 100 + d1 * 10 + d0) % x
= (dk * 10^k) % x + (d(k-1) * 10^(k - 1)) % x + …… + d0 % x
= dk * (10^k % x) + d(k-1) * (10^(k - 1) % x) + …… + d0 * (1 % x)
证毕

Answer 2

按你的逻辑14不能被7整除

那不挺麻烦嘛

Answer 3

对大数的整除意义大,X要比较小才比较方便

Answer 4

这种求余相加的方法显然可以的
不明白为什么要拿出来放在这里

Answer 5

高明