初中数学题-相似三角形
如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线。求证：FD²=FB·FC
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。求证：EB·DF=AE·DB
希望会的人帮忙解答一下，谢谢。急~
证明：（如图一）
∵∠5=∠1＋∠2＋∠B
= (∠1＋∠B)＋∠2
= ∠4＋∠2
= (∠2＋∠3)＋∠2
=∠1＋∠2＋∠3
即：∠ACF=∠BAF
又：∠AFC=∠BFA
∴△ACF∽△BAF（有两个角相等的两个三角形相似）
证明：（如图二）
∵∠1＋∠ABC=90°
∠A＋∠ABC=90°
∴∠1=∠A
∵CD⊥AB CF⊥BE
∴B、C、F、D四点共圆（线段两端点在同侧张等角，则四点共圆）
（附： BC线段在同侧张两相等的直角）
∴∠1=∠2（在同圆中，同弦所对的圆周角相等）
而∠1=∠A
∴∠2=∠A
又 ∠ABE=∠FBD
∴△AEB∽△FDB（有两个角相等的两个三角形相似）
没有学过四点共圆，能换一种证明说法吗？
追答如果不用四点共圆，也可以。
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BD是直角边在斜边上的射影，根据射影定理有：
BC×BC=BD×AB（直角三角形中，直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项）
同理，在Rt△BCE中，BF是直角边BC在斜边BE上的射影
∴BC×BC=BF×BE
∴BD×AB=BF×BE
换成比例 BD：BF=BE：AB
又∠EBA=∠DBF
∴△AEB∽△FDB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴EB：AE=DB：DF
换成乘积式得到：
BE×DF=AE×DB
证明：连FA，有FA=FD，证△FBA∽△FAC
∠FDA=∠FAD=∠FAB+∠BAD ∠BAD=∠CAD
∠FDA=∠FCA+∠CAD= ∠FAB +∠BAD，则∠FCA=∠FAB
另∠AFB=∠CFA 所以△FBA∽△FAC（AAA）
FA：FC=FB：FA 即FD的平方=FB*FC
第二题
在直角三角形ABC中CD⊥AB，根据垂径定理，有BC^2=BD·BA，
在直角三角形BCE中，CF⊥BE，根据垂径定理，有BC^2=BF·BE，
于是BD·BA=BF·BE，有BD/BF=BE/BA，角ABE是公共角，
于是△ABE∽△FBD，有EB/EA=DF/DB
即EB*DF=AE*DB
角FDA=角B+角DAB,又因为角DAB=角DAC,角FDA=角DAF=角DAC+角CAF所以角B=角CAF
在三角形FAB和FCA中
角BFA=角AFC
角B=角CAF
所以三角形FAB和FCA相似
有FC/FA=FA/FB
FA^2=FB*FC即FD^2=FB*FC