已知f(x)=a*2^x+a-2/2^x+1(x∈R)是奇函数

Question

已知f(x)=a*2^x+a-2/2^x+1(x∈R)是奇函数
1）求a的值
2）若将f（x）的反函数记作f^-1（x），解不等式：f^-1(x)≥log2 (1+x)

Answer 1

定义域R
方法1. 奇函数f(0)=0 f(0)=(2a-2)/2=a-1=0
a=1
方法2. f(-x)=(a*2^-x+a-2)/2^-x+1 分子分母同时乘以2^x
=(a+a*2^x-2*2^x)/2^x+1
奇函数f(-x)=-f(x) 即f(x)+f(-x)=0
所以 （a+a*2^x-2*2^x）+（a·2^x+a-2）=0
(2a-2)*2^x+(2a-2)=0
对任意x∈R都成立
所以 2a-2=0
a=1

f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)=y
2^x-1=y2^x+y
2^x(1-y)=1+y
2^x=(1+y)/(1-y)
故有x=log2[(1+y)/(1-y)]
即有反函数f^-1(x)=log2(1+x)/(1-x)
故有f^-1(x)=log2(1+x)/(1-x)>=log2(1+x)
(1+x)/(1-x)>=1+x
(1+x)[1/(1-x)-1]>=0
(x+1)(1-1+x)/(1-x)>=0
x(x+1)/(x-1)<=0
解得x<=-1,0<=x<1