法国数学家傅里叶发现，任何
周期函数都可以用
正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为
傅里叶级数(法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数)。傅里叶系数的重要性质 列举下面两条：
① 若�0�6(x∈l(-π,π),则�0�6的傅里叶系数αn,bn（或сn），当n→∞时趋于0，称为黎曼-勒贝格定理。
② 若�0�6(x∈l(-π,π)，则有 。这个等式称为帕舍伐尔等式；反之假如{сk}是一列双向的数列,满足条件,那么必存在惟一的函数�0�6(x∈l(-π,π),它的傅里叶系数等于｛сk｝(k=0，±1，±2,…)。这个逆命题称为里斯－费希尔定理。
三角级数与单位圆内解析函数的关系 设z=e(0≤x<2π)是复平面单位圆周上的点，于是级数 (6)的实部就是三角级数(1)，虚部 (7)称为三角级数(1)的共轭级数。假如(6)中的z表示单位圆内的点,即z=re(0≤r<1),那么(6)就是复变数z=re的幂级数，当它收敛时，其和函数是单位圆内的解析函数。所以三角级数(1)可以看做单位圆内解析函数边界值的实部。
多元三角级数与多元傅里叶级数 设为m 维
欧氏空间R的点，级数 (8)称为m元三角级数，其中，而n1,n2,…,nm为整数。假如�0�6(x)＝�0�6(x1,x2,…,xm)关于每个变量xi(1≤i≤m)都是周期为2π的周期函数，且在立方体 Q:-π ≤xj≤π (j=1,2,…,m) (9)上，�0�6是勒贝格可积的。类似于(5)，如果(8)中系数 那么称(8)为�0�6的傅里叶级数，并记为 多元傅里叶系数也有类似于一元傅里叶系数的许多性质，但多元三角级数与多元傅里叶级数的许多问题，却远较一元复杂。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的惟一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。