复变函数证明题！！！急！！！！！！！！！！！详细过程！！！

Question

如题所述

Answer 1

若f(z0) ≠ 0, 则|f(z0)| > 0.
由f(z)在|z-z0| < R内解析, f(z)在z0的一个邻域内连续.
因此存在r > 0, 使|z-z0| < r时|f(z)-f(z0)| < |f(z0)|/2.
于是|f(z)| ≥ |f(z0)|-|f(z0)-f(z)| > |f(z0)|/2 > 0.
即f(z)在|z-z0| < r内没有零点.

若f(z0) = 0, 由f(z)在|z-z0| < R内解析且不恒为零, 根据解析函数的零点孤立性定理.
存在r > 0, 使f(z)在|z-z0| < r中只有z0这一个零点.
即f(z)在0 < |z-z0| < r内没有零点.

零点孤立性定理应该不用证了吧.