复变函数证明题

Question

谢谢！

Answer 1

∵|z|=1，∴可设z==cosθ+isinθ（欧拉公式）

有dz=，

，原积分可化为：

，因为cosθ、cos（sinθ）是偶函数，sin（sinθ）是奇函数，上式可化为：

，根据柯西积分公式计算原积分有：

，比较两积分可得：

Answer 2

用参数方程 z=e^｛it｝，-pi<t<pi把积分化为区间上的定积分，再用奇偶性，要证明的那个积分等于参数方程积分（也就是原复积分）的虚部的二分之一。追问

用柯西积分公式怎么做？

追答

你就套Cauchy积分公式算。