线性表示和线性相关之间的关系

Question

如题所述

Answer 1

线性表示是一个向量与一个向量组的关系，线性相关性是向量组内部向量之间的关系，线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。

线性无关判定方法：显式向量组、隐式向量组。

1、显式向量组

将向量按列向量构造矩阵A。对A实施初等行变换, 将A化成行梯矩阵。梯矩阵的非零行数即向量组的秩。如果向量组的秩 < 向量组所含向量的个数，则向量组线性相关。否则向量组线性无关。

2、隐式向量组

一般是设向量组的一个线性组合等于0。若能推出其组合系数只能全是0，则向量组线性无关。否则向量组线性相关。

线性独立一般是指向量的线性独立，指一组向量中任意一个向量都不能由其它几个向量线性表示。特别地，所谓“线性关系”的本质就是“独立关系”（又叫线性独立），因为这时任何一辆车的“贡献”大小和有无（即其系数取正负、大小及是否取0等）皆与别的车无关。

线性相关性质：

1、向量a1，a2， ···，an（n≧2）线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余（n-1）个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。

4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。