一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数对吗

Question

f(x)=f(-x) , g(-x)=-g(x)
φ(-x)=f(x) * -g(x)
-φ(x)= -f(x) * g(-x)

φ(-x)≠-φ(x)

Answer 1

“ 一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数”这个命题是正确的（大前提是两个相乘的函数的定义域相同）。
至于下面的这个推理，定义φ(x)=f(x) * g(x)，
则φ(-x)=f(-x) * g(-x)=f(x) *-g(x)
-φ(x)=-f(x) * g(x) --------- (提问中所写的推理问题问题出在这一步)
所以φ(-x)=-φ(x)
所以φ(x)是奇函数。

另外，奇函数乘以（或除以）奇函数得偶函数
奇函数乘以（或除以）偶函数得奇函数
偶函数乘以（或除以）偶函数得偶函数

希望我的回答对你有所帮助。

Answer 2

设奇函数f(x)、偶函数g(x)
则f(-x)=-f(x)、g(-x)=g(x)
设F(x)=f(x)g(x)
F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x)
即F(x)是奇函数
所以一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数追问

告诉我我的哪里错了

追答

φ(-x)=f(x) * [-g(x)]=-f(x) * g(x) 往下再化简一步
-φ(x)= -f(x) * g(-x)=-f(x) * g(x) 往下再化简一步
φ(-x)=-φ(x)

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Answer 3

是的，奇×偶为奇，奇÷偶为奇，奇＋奇为奇，偶＋偶为偶 这些都要记到，要达到说上句晓下句，这样可以提高做题速度！

Answer 4

对的
G(x)=f(x)*g(x)
G(-x)=f(-x)*g(-x)
=f(x)*-g(x)=-f(x)*g(x)=-G(x)
所以G(x)是奇函数

Answer 5

对啊，f(x)=f(-x) , g(-x)=-g(x)，φ(x)=f(x)*g(x)

φ(-x)=f(-x)*g(-x)=f(x)*-g(x)=-φ(x)
即证