为什么两个奇函数的和是奇函数？为什么两个奇函数的积是偶函数呢？

Question

如题所述

Answer 1

证明：（1）函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域为D，当x∈D时，-x∈D.

∵f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数，

∴对任意x∈D有

f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，

∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)

即对任意x∈D有 F(-x)=-F(x)成立。

故F(x)为奇函数。

所以两个奇函数的和是奇函数。

（2））函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域为D，当x∈D时，-x∈D.

∵f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数，

∴对任意x∈D有

f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，

∴G(-x)=f-(x).g(-x)=[-f(x)].[-g(x)]=f(x).g(x)=G(x)

即对任意x∈D有 G(-x)=G(x)成立。

故G(x)为偶函数。

所以两个奇函数的积是偶函数。

扩展资料

奇函数的性质：

1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数 。

2、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。

3、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。

4、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。

5、当且仅当  （定义域关于原点对称）时，  既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。

偶函数的性质：

1、图象关于y轴对称

2、满足f(-x) = f(x)

3、关于原点对称的区间上单调性相反

4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0

5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）

Answer 2

已知：函数y=f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数.求证：（1）F(x)=f(x)+g(x)是奇函数.（2）G(x)=f(x).g(x)是偶函数。
证明：（1）函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域为D，当x∈D时，-x∈D.
∵f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数，
∴对任意x∈D有
f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，
∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
即对任意x∈D有 F(-x)=-F(x)成立。
故F(x)为奇函数。
所以两个奇函数的和是奇函数。
（2））函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域为D，当x∈D时，-x∈D.
∵f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数，
∴对任意x∈D有
f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，
∴G(-x)=f-(x).g(-x)=[-f(x)].[-g(x)]=f(x).g(x)=G(x)
即对任意x∈D有 G(-x)=G(x)成立。
故G(x)为偶函数。
所以两个奇函数的积是偶函数。本回答被网友采纳

Answer 3

已知：函数y=f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数.求证：（1）F(x)=f(x)+g(x)是奇函数.（2）G(x)=f(x).g(x)是偶函数。
证明：（1）函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域为D，当x∈D时，-x∈D.
∵f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数，
∴对任意x∈D有
f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，
∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
即对任意x∈D有
F(-x)=-F(x)成立。
故F(x)为奇函数。
所以两个奇函数的和是奇函数。
（2））函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域为D，当x∈D时，-x∈D.
∵f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数，
∴对任意x∈D有
f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，
∴G(-x)=f-(x).g(-x)=[-f(x)].[-g(x)]=f(x).g(x)=G(x)
即对任意x∈D有
G(-x)=G(x)成立。
故G(x)为偶函数。
所以两个奇函数的积是偶函数。

Answer 4

万籁俱寂，读音：[ wàn lài jù jì ] 

1. 【解释】：籁：从孔穴中发出的声音；万籁：自然界中万物发出的各种声响；寂：静。形容周围环境非常安静，一点儿声响都没有。

2.【出自】：唐·常建《题破山寺后禅院》诗：“万赖此俱寂，唯闻钟磬音。”

译文：此时此刻万物都沉默静寂，只留下了敲钟击磬的声音。

3.【示例】：这时万籁俱寂，只听到滴搭的钟声和可以微闻得到的母亲的呼吸。

4. 【语法】：主谓式；作谓语、定语；形容非常安静。

扩展资料

一、近义词：鸦雀无声[ yā què wú shēng ] 

1. 【解释】：连乌鸦麻雀的声音都没有。形容非常静。

2. 【出自】：清·李宝嘉《官场现形记》第三十三回：“直等到大众去净之后，静悄悄的鸦雀无声。”

3. 【语法】：主谓式；作谓语、定语、状语；形容非常静.

二、反义词：人声鼎沸[ rén shēng dǐng fèi ] 

1. 【解释】：鼎：古代煮食器；沸：沸腾。形容人群的声音吵吵嚷嚷，就象煮开了锅一样。

2. 【出自】：明·冯梦龙《醒世恒言》卷十：“一日午后，刘方在店中收拾，只听得人声鼎沸。”

3. 【语法】：主谓式；作谓语、宾语、定语；比喻人声嘈杂

    

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Answer 5

已知：函数y=f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数.求证：（1）F(x)=f(x)+g(x)是奇函数.（2）G(x)=f(x).g(x)是偶函数。
证明：（1）函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域为D，当x∈D时，-x∈D.
∵f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数，
∴对任意x∈D有
f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，
∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
即对任意x∈D有
F(-x)=-F(x)成立。
故F(x)为奇函数。
所以两个奇函数的和是奇函数。
（2））函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域为D，当x∈D时，-x∈D.
∵f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数，
∴对任意x∈D有
f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，
∴G(-x)=f-(x).g(-x)=[-f(x)].[-g(x)]=f(x).g(x)=G(x)
即对任意x∈D有
G(-x)=G(x)成立。
故G(x)为偶函数。
所以两个奇函数的积是偶函数。