若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x^3和y=ax^2+15/4x-9都相切，则a等于

Question

如题所述

Answer 1

分别求导，曲线y1‘=3x^2二次函数y2'=2ax+15/4∵过点（1，0）的直线与曲线y=x^3和y=ax^2+15/4x-9都相切，设直线l的斜率为k∴设y1'=3x^2=k ① y2'=2ax+15/4=k②由①得，x=±√(k/3)当x=√(k/3)，则y1=(√k/3)^3则直线l过(√k/3,(√k/3)^3)则直线l的斜率为(√k/3)^3/(√k/3-1)=k所以(√k/3)^3=k√k/3-k则√k^3/√27=√k^3/√3-k则求出k=81/(√27-√3)^2=27/4当x=-√k/3也一样。 则直线l为y=27/4x-27/4由②，则2ax+15/4=27/4,则x=3/2a代入ax^2+15/4x-9=27/4 x-27/4中解得a=8

Answer 2

解：过点（1，0）与曲线y=x^3相切的直线可求为y=27/4 (x-1) 此直线与y=ax^2+15/4x-9相切则y'=2ax+15/4且a≠0 所以2ax+15/4=27/4① ax^2+15/4x-9=27/4 (x-1)② 由①②可解得a=8