证明当x→∞时,f(x)=xcosx是无界函数而不是无穷大量

Question

请给出过程

Answer 1

首先不存在M>0
使|xcosx|<M
因为任意一个M 总可以找到比他大且使得cosx＝1的x
所以使无界函数

无穷大定义 任意M>0
总存在p>0 当0<|x-x0|<p
使得f(x)总满足|f(x)|>M 则f(x)使趋向x0的无穷大

xcosx 不存在这样一个x0 当|x-x0|<p p可以任意小
使得f(x)大于任意正书
总存在M>xcosx 所以不是无穷大量
第2个叙述的不是很严谨

Answer 2

证明:

1）无穷大量是极限为无穷大的变量，但f(x)=xcosx当x→∞，无极限。
取两个序列即知
x= (2n+1/2)π n=0 1 2... f(x)=0
x= 2nπ n=0 1 2... f(x)→∞

2)假设f(x)有界，即存在常数M(M>0)满足任意x都有-M<xcosx<M.
这显然与x= 2nπ n=0 1 2... f(x)→∞矛盾
顾无界