不考虑是否有重复，一共的排列有A55=120种排列方式。一共五人，呆在原来部门的人数可以为1、2、3、5共四种情况。分别将这4种情况排除掉即可。
首先考虑呆在原来部门的人数为5人，这与原来的排列方法是一样的，即甲乙丙丁戊原来分别在ABCDE五个部门，有且只有一种排法。
考虑呆在原来部门的人数为3人，则先挑出呆在原部门的三人，一共有C53=10种。其实此时，剩下两人由于不能呆在原来的部门，他们两人的排列方法即已经唯一确定。因此，呆在原来部门的人数为3人的情况一共有10种。
考虑呆在原来部门的人数为2人，则先挑出呆在原部门的2人，一共有C52=10种。为了叙述方便，不妨假设呆在原部门的两人为甲乙。这样，就要求丙丁戊不能呆在原来的部门。考虑丙只可能在DE2部门（共两种排列方法），而当丙确定部门之后，丁戊由于不能再原来的部门，所以他们两人的排列方法也已经唯一确定。因此，呆在原来部门的人数为2人的情况一共有10*2=20种。
考虑呆在原来部门的人数为1人，则先挑出呆在原部门的1人，一共有C51=5种。为了叙述方便，不妨假设呆在原部门的人为甲。这样，就要求乙丙丁戊不能呆在原来的部门。此时，先考虑乙最终的部门，共三种可能的排列方法（可能在CDE部门）。不妨假设乙最终的部门为C，此时分2种情况。（1）丙分在了B部门，而当丙确定部门之后，丁戊由于不能再原来的部门，所以他们两人的排列方法也已经唯一确定。（2）丙没分在B部门，此时，丙可以被分在DE两部门，共2种情况。而当丙确定部门之后，丁戊由于不能再原来的部门，所以他们两人的排列方法也已经唯一确定。因此，呆在原来部门的人数为1人的情况一共有5*3（1+2）=45种。
综合可知，均不在原部门的有120-1-10-20-45=44种排列方法。