数列an中，若a1=1，a(n+1)=(n+1)/(n+2)an（n∈N+），求通项公式an

Question

数列an中，若a1=1，a(n+1)=(n+1)/(n+2)an（n∈N+），求通项公式an

括号内的是右下角的数字，不是相乘

Answer 1

解：
a(n+1)=[(n+1)/(n+2)]an
(n+2)a(n+1)=(n+1)an
[(n+1)+1]a(n+1)=(n+1)an
(1+1)×a1=2×1=2
数列{(n+1)an}是各项均为2的常数数列。
(n+1)an=2
an=2/(n+1)
n=1时，a1=2/(1+1)=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2/(n+1)。

或者这样解：
a(n+1)=[(n+1)/(n+2)]an
a(n+1)/an=(n+1)/(n+2)
an/a(n-1)=n/(n+1)
a(n-1)/a(n-2)=(n-1)/n
…………
a2/a1=2/3
连乘
an/a1=(2/3)(3/4)...[n/(n+1)]=(2×3×...×n)/[3×4×...×(n+1)]=2/(n+1)
an=[2/(n+1)]a1=2/(n+1)
数列{an}的通项公式为an=2/(n+1)。
结果是一样的。

Answer 2

n>1时an=n/(n+1)a(n-1)=n/(n+1)*(n-1)/na(n-2)=...=n/(n+1)*(n-1)/n...2/3a1=2/(n+1)a1=2/(n+1);
n=1时an=1
综上，当n=1时，an=1;当n>1时，an=2/(n+1）