已知数列an满足a1=2，且n≥2时，an²－2an=an减一的平方+2an减一。

Question

已知数列an满足a1=2，且n≥2时，an²－2an=an减一的平方+2an减一。

(1).求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式.

Answer 1

题目本身有问题，此类题目在百度知道上很多，还有一个已知条件是{an}是正项数列。缺少了这个条件，就是个错题。

1.
n≥2时，
an²-2an=a(n-1)²+2a(n-1)
[an²-a(n-1)²]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
an是正项数列，an+a(n-1)恒>0，要等式成立，只有an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2，为定值。
又a1=2，数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列。
2.
an=2+2(n-1)=2n
n=1时，a1=2，同样满足通项公式。
综上，得数列{an}的通项公式为an=2n。

之所以需要{an}是正项数列的条件时因为：
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
an+a(n-1)=0时，等式成立，此时an=-a(n-1)，数列是2，-2，2，……，是交错数列，不是等差数列。

Answer 2

问题不清楚？an-2an？不是等于-an？还有“an减一”是上标还是下标？an－1还是An_1？