y=a-bx² 绕y轴旋转的体积公式是怎么得到∫πx²dy的？？？这里是定积分上限和下限分别是a和b

如题所述

推荐答案 2013-03-18

y=a-bx²为顶点为A(0, a), 对称轴为y轴，开口向下的抛物线。这里显然是要算该抛物线在[b,a]间绕y轴旋转的旋转体体积(b <a)

因为是绕y轴旋转, 用y作自变量较方便
y=a-bx², x = ±√[(a - y)/b]
在y处(y∈[b,a]), 旋转体截面是以x= √[(a - y)/b]为半径的圆, 截面积为πx² = π(a - y)/b
V = ∫[π(a - y)/b]dy
= π(a - b)²/(2b)

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