已知函数f(x)=(x^2+a)/(x+1),a∈R，求函数f(x)的单调区间。

Question

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Answer 1

解：∵f(x)=(x^2+a)/(x+1)的定义域为：x≠-1
∴f'(x)=[(x+1)^2-(a+1)]/(x+1)^2
=1-[(a+1)/(x+1)^2
当f'(x)>0时，函数f(x)是增函数，即：
1-[(a+1)/(x+1)^2]>0
解之得：当a>-1时，x>-1+√(a+1),x<-1-√(a+1)
当a<-1时，x≠-1
∴当a>-1时，函数f(x)在（-∞，-1-√(a+1))和（-1+√（a+1),+∞）上是增函数；当a<-1时，x≠0时，函数f(x)是增函数；
当f'(x)<0时，函数f(x)是减函数，即：
1-[(a+1)/(x+1)^2<0
解之得：当a>-1时，-1-√(a+1)<x<-1+√(a+1)
当a<-1时，无解
∴当a>-1时，函数f(x)在（-1-√(a+1),-1+√(a+1))上是减函数。
综上所述， 当a>-1时，函数f(x)在（-∞，-1-√(a+1))和（-1+√（a+1),+∞）上是增函数；当a<-1时，x≠0时，函数f(x)是增函数；当a>-1时，函数f(x)在（-1-√(a+1),-1+√(a+1))上是减函数。

Answer 2

定义域为x>-1或x<-1
记t=x+1, x=t-1
则f(x)=[(t-1)^2+a]/t=(t^2-2t+1+a)/t=[t+(a+1)/t ]-2
讨论a:
a=-1时，f(x)=t-2, 在定义域区间x>-1及x<-1都是单调增
a>-1时，为双勾函数，极值点为t=(a+1)/t, 即t=√(a+1), 或-√(a+1)
单调增区间为:x>√(a+1)-1或x<-√(a+1)-1
单调减区间为:-1<x<√(a+1)-1, 或-√(a+1)-1<x<-1
a<-1时，因t,及(a+1)/t都是增函数，所以在定义域区间x>1及x<-1都是单调增。本回答被网友采纳