如何用尺规作图的方法做一个正五边形

Question

请给出证明
做已知圆的正五边形

Answer 1

　　常规画法

　　(1)已知边长作正五边形的近似画法

　　①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K。

　　②取AB的2/3长度，沿着中垂线向上取C点，使CK=2/3AB。

　　③以点C为圆心，已知边长AB为半径画弧，分别与前两弧相交于M，N。

　　④顺次连接A，B，N，C，M各点即近似作得所要求的正五边形。

　　(2)民间口诀画正五边形

　　口诀介绍：“九五顶五九,八五两边分”。

　　画法:

　　①画线段AB=20mm。

　　②作线段AB的垂直平分线l，垂足为G。

　　③在l上连续截取GH，HD，使 GH=9.5/5*10mm=19mm，HD=5.9/5*10mm=11.8mm。

　　④过H作EC⊥HG,在EC上截取HE=HC=8/5*10mm=16mm。

　　⑤连结DE，EA，AB，BC，CD。

　　五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形。

　　尺规作图画法

　　理论依据：cos36°=(1+√5)/4

　　正五边形 - 几何画板

　　1. 在平面内作一圆，圆心为O；

　　2. 在圆O上取一点A，连接AO并延长交圆O于另一点B；【假令|AB|=4】

　　3. 过点O作CD⊥AB，交圆O于C、D两点；【此时|CD|=4】

　　4. 作OB垂直平分线MN，交OB于E点，交圆O于M，N【此时|OE|=|BE|=1】

　　5. 以点E为圆心，EC长为半径作弧，交BO延长线于点F；

　　【此时|EC|=|EF|=√5】

　　6. 以点B为圆心，BF长为半径作弧，交圆O分别于G、H两点；【此时|BF|=|EF|+|BE|=1+√5】

　　【此时可知cos∠ABG=(|EF|+|BE|)/|AB|=(1+√5)/4=cos36°】

　　【而∠AOG=2∠ABG=72°=360°/5(直径所对的圆周角)】

　　【此时便得到了圆周上的五等分点的其中两个。。。。。】

　　7. 以点G为圆心，GA长为半径作弧，交圆O于P点；

　　8. 以点H为圆心，HA长为半径作弧，交圆O于Q点；

　　9. 连接AG、GP、PQ、QH、HA,则五边形AGPQH为正五边形。

Answer 2

【第一步：确定正五边形边长与外接圆直径的关系。】

设⊙O的内接正五边形ABCDE，连接AO并延长，交⊙O于F，连接BO、BF。

∵AF为⊙O的直径，

∴∠ABF=90°

∵∠AOB=360°/5=72°

∴∠AFB=1/2∠AOB=36°

AB/AF=sin36°

【第二步：计算sin36°的值】

【第三步：尺规作图，并验证】

     ＜＜＜假设⊙O的直径=4，那么正五边形的边长平方=10-2√5＞＞＞

（1）在平面内作一圆，圆心为O；

（2） 在圆O上取一点A，连接AO并延长交圆O于另一点B；【假设|AB|=4】
（3） 过点O作CD⊥AB，交圆O于C、D两点；
（4） 作OB垂直平分线MN，交OB于E点，交圆O于M，N【此时|OE|=|BE|=1】
（5） 以点E为圆心，EC长为半径作弧，交BO延长线于点F；【此时|EC|=|EF|=√5】
                【OF=√5-1，CF^2=OF^2+OC^2=6-2√5+4=10-2√5，CF即为正五边形的边长】

（6）以点C为圆心，CF为半径作弧，交⊙O于点G、H，

（7）以点G、H为圆心，CF为半径作弧交⊙O于点I、J。

（8）连接CG、GI、IJ、HJ、CH。则五边形CGIJH为正五边形

Answer 3

[正五边形的画法]
(1)已知边长作正五边形的近似画法如下:
①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K.

③以 C为圆心,已知边长 AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.
④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形.
(2) 圆内接正五边形的画法如下:
①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和 AP.
② 平分半径ON,得OK=KN.
③以 K为圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H, AH即为正五边形的边长.
④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形.
3.民间口诀画正五边形
口诀介绍:"九五顶五九,八五两边分."
作法:
画法:
1.画线段AB=20mm,
2.作线段AB的垂直平分线,垂足为G.
3.在l上连续截取GH,HD,使 GH=5.9/5*10mm=19mm,
HD=5.9/5*10mm=11.8mm
4.过H作EC⊥CG,在EC上截取HC=HE=8/5*10mm=16mm,
5.连结DE,EA,EC,BC,CD,
五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形.

这里提供以下两种作法仅供参考：
1、已知边长作正五边形的近似画法如下： （1）作线段AB等于定长l，并分别以A、B为圆心，已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K. （2）以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CH=2/3AB （3）以 C为圆心，已知边长 AB为半径画弧，分别与前两弧相交于M、N. （4）顺次连接A、B、N、C、M各点即近似作得所要求的正五边形.
2、 圆内接正五边形的画法如下： （1）以O为圆心，定长R为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和 AP. （2）平分半径ON，得OK=KN. （3）以 K为圆心，KA为半径画弧与 OM交于 H， AH即为正五边形的边长. （4）以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E各点，顺次连接这些点即得正五边形.本回答被提问者采纳

Answer 4

在圆内尺规作正五边形步骤如下：
1）作出圆的一条直径XY
2）再作圆的另一直径AZ，使AZ垂直于XY
3）以半径OY的中点M为圆心，以MA为半径作弧交线段XY于点N
4）连结NA
则线段NA即该圆的内接正五边形边长

证明过程略.(求得NA的长度,再与圆内接正五边形的边长作比较,看看是否相等即可证明)

Answer 5

知道黄金分割比不？（根5-1）/2
先定一个一定长度的线段，然后作出和它比为（根5-1）/2的线段（本身和两倍的作直角边，取弦出根5线段，减原长再等分），以原线段为腰，新线段为底，作三角形，底角就是72度（准确值），其补角108度就是正五边形的角度