(Ⅰ)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x-1|,
①当x≤1时,f(x)=2-x+2(1-x)=-3x+4,
由f(x)>3,得-3x+4>3,解得x<
,
∴
x<;
②1<x≤2时,f(x)=2-x+2(x-1)=x,
由f(x)>3,得x>3,
∴此时不等式无解;
③当x>2时,f(x)=x-2+2(x-1)=3x-4,
由f(x)>3,得3x-4>3,解得x>
,
∴x>
;
综上,不等式f(x)>3的解集为(-∞,
)∪(
,+∞).
(Ⅱ)f(x)≥1即|x-2|+2|x-a|≥1,
当|x-2|≥1,即x≤1或x≥3时,显然|x-2|+2|x-a|≥1对任意实数a恒成立;
∴丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 对任意实数x恒成立,只须丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 对x∈(1,3)恒成立.
(1)若x∈(1,2]时,得2|x-a|≥x-1,即a≥
,或a≤
,x∈(1,2]恒成立,则a≥
,或a≤1;
(2)若当x∈(2,3)时,得2|x-a|≥3-x,即a≥
,或a≤
对x∈(2,3)恒成立,则a≥3,或a≤
;
对(1)(2)中a的范围取交集,得a≤1或a≥3.