y= √x 在[0,+∞）一致连续的证明？

Question

这个函数在x=0附近导数无限大，因此不满足lipschitz条件，但它却还是一致连续的。
下面我知道我用反证法证它不是一致连续的证错了，但到底哪里错了，我证明y=x^2在[0,+∞）的时候也是这么做的啊，有点儿想不明白了。

Answer 1

y= √x 在[0,+∞）一致连续的证明：

|√|f(x1)-f(x2)|=|√x1-√x2|≤√|x1-x2|<ε

则对任意ε>0 都存在δ=ε^2，使得对任意x1，x2满足|x1-x2|<δ

就有|f(x1)-f(x2)|<ε

因此f(x)=√x在[0，+∞]上一致连续。

所有多项式函数都是连续的。

各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

Answer 2

闭区间连续则一致连续，把[0,+∞)拆分成[0,1]和(1,+∞)，第一个区间是闭区间的性质，第二个区间是导数有界的性质。两个分区间都一致连续，合区间当然一致连续。

某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0 ，使得在区间I上的任意两点x'和x"，当满足|x'-x"|<δ时，|f(x')-f(x")|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续。一致连续的函数必定是连续函数。

扩展资料

所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x) = 1如果x> 0，f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

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Answer 3

闭区间连续则一致连续，你就不能把[0,+∞)拆分成[0,1]和(1,+∞)吗？第一个区间是闭区间的性质，第二个区间是导数有界的性质。两个分区间都一致连续，合区间当然一致连续。本回答被提问者采纳

Answer 4

|√|f(x1)-f(x2)|=|√x1-√x2|≤√|x1-x2|<ε

则对任意ε>0 都存在δ=ε^2，使得对任意x1，x2满足|x1-x2|<δ

就有|f(x1)-f(x2)|<ε

因此f(x)=√x在[0，+∞]上一致连续

扩展资料

|f在[0，+oo)上一致连续的定义是：

只要|x1-x2|足够小，那么|f(x1)-f(x2)|就足够小

证明它不一致连续，那么只要举一个反例就可以了

也就是说找到一组x1，x2，而且|x1-x2|足够小，但是|f(x1)-f(x2)|>1就可以了

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Answer 5

y=x^(1/2) y' = (1/2)x^(-1/2) >0 y=根号x在0到正无穷上是增函数本回答被网友采纳