y"+ay'+by=c（a，b，c为常数）型微分方程怎么解？

Question

如题所述

Answer 1

这种微分方程的求解有固定的格式，纯记忆性的东西，熟练后就会了.

先求解齐次方程y''＋ay'＋by＝0的通解，做法是用特性方程：
特征方程是r^2＋ar＋b＝0，此一元二次方程的解有三种形式
（1）特征方程有二个不等的实数根r1和r2，则齐次方程的通解是y＝C1×e^(r1x)＋C2×e^(r2x)
（2）特征方程有二个相等的实数根r，则齐次方程的通解是y＝e^(rx)×(C1＋C2×x)
（3）特征方程有一对共轭复数根α±βi，则齐次方程的通解是y＝e^(αx)×(C1×cos(βx)＋C2×sin(βx))

再求解非齐次方程y''＋ay'＋by＝c的一个特解，思路是把c写成c×e^(0x)，判断λ＝0是否是齐次方程的特征方程的根，是单根还是重根
（1）若0不是特性方程的根，此时b≠0，则假设非齐次方程的一个特解是y*＝A，代入得A＝c/b，所以y*＝c/b
（2）若0是特性方程的单根，此时b＝0，a≠0，则假设非齐次方程的一个特解是y*＝Ax，代入得A＝c/a，所以y*＝cx/a
（3）若0是特性方程的重根，此时a＝b＝0，则假设非齐次方程的一个特解是y*＝Ax^2，代入得A＝c/2，所以y*＝cx^2/2

最后，非齐次方程的通解是 非齐次方程的一个特解y* 与 对应的齐次方程的通解 的和，对具体的题目来说，判断是以上哪一种形式，然后写出最后的通解

－－－附－－－
这种微分方程的求解的方法很简单，主要的步骤一是计算特征方程的根，这是纯粹的一元二次方程求解；二是求非齐次方程的特解，这只是一个求导数的问题

Answer 2

先解 {y_c}''+a{y_c}'+b=0，得 y_c=A e^{mx}+ B e^{nx}，m,n是 X^2+aX+b=0的根 (a^2≠4b)，若a^2=4b，则 y_c=(Ax+B)e^{-ax/2}
再找特解 y_p=c/b (b≠0), y_p=cx/a (b=0, a≠0), y_p=cx^2/2 (a=b=0)
通解是 y=y_c+y_p本回答被网友采纳

Answer 3

我同意枫云的意见,好好看书,很简单的