线性代数 例25答案的红线部分是怎么得到的又是怎么计算的呢？

Question

分别都是怎么得到的又是怎么计算的呢？为什么B的n次方求的这么繁琐，而C的n次方很短几步就算出来了，是为什么呢？麻烦说一说吧，谢谢回答。

Answer 1

这个是利用伴随矩阵求逆矩阵
?
利用了行列式中代数余子式的性质
某行（列）元素×本行（列）元素对应的代数余子式，求和＝行列式的值
某行（列）元素×其它行（列）元素对应的代数余子式，求和＝0
?
以（1.24）为例，（1.25）是一样的
?
两个矩阵相乘，得到一个n×n的矩阵
矩阵的对角线上的元素
＝某行（列）元素×本行（列）元素对应的代数余子式，求和＝行列式的值
矩阵其它位置的元素
＝某行（列）元素×其它行（列）元素对应的代数余子式，求和＝0
?
即，矩阵中
矩阵的对角线都为|A|，其它元素为0
提出公因式，得到|A|×单位矩阵
?
过程如下图：
?追问

您不懂就不要耽误别人好不好？这是数学，不是两性健康，随随便便粘贴复制就可以的。

Answer 2

求方阵的n次方的方法:(1)归纳法，求出前面几次方，总结规律，写出n次方，用归纳法证明;(2)公式法，用矩阵幂的二项展开式(A+B)^n,要求A与B可交换;(3)先将A对角化，P^–1AP=Λ,A=PΛP^–1,A^n=PΛ^nP^–1,这样就把一般方阵的幂变成对角矩阵的幂的计算。本题中B的次方用方法(3)，而C的次方用方法(2)。追问

感谢您的回答

Answer 3

直接计算可知矩阵D
0 1
0 0
的平方为0，所以当n大于2时，矩阵D的n次方也必为0。
又矩阵C=
2 1
0 2
=2E+D
利用二项式定理展开，就只有前两项不为0，其余的项都是0，就得如书上结果了。追问

感谢您的回答

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Answer 4

0 1
1 0
这个矩阵的2以上次方，结果都是零矩阵，这个你只需要拿两个乘一下就知道了。

C等于2E加上那个矩阵，这个也不难理解吧，自己加一下就出来了。
最关键的就是这么拆的用意是啥。
首先因为E与任何矩阵相乘都等于该矩阵，无论左乘还是右乘，这就说是满足交换律的。
所以这个就跟高中学的（a+b）的n次方展开式一样（带排列组合那个式子）。只不过这里是矩阵，高中时是数值。
而由于那个矩阵2次方及以上，都是零。所以这个展开式就只有前两项。