如何推导傅里叶变换中的时移特性和频移特性？

Question

如题所述

Answer 1

1.时移特性的推导过程：

2.频移特性的推导过程：

傅立叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

（1）基本性质——线性性质

线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数；两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f(x）和g(x）的傅里叶变换mathcal[f]和mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则mathcal[αf+βg]=α，mathcal[f]+βmathcal[g]；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符；

（2）频移性质

若函数f( x ）存在傅里叶变换，则对任意实数ω0，函数f(x) e^{i ωx}也存在傅里叶变换，且有mathcal[f(x)e^{i ωx}]=F(ω+ ω0 ）。式中花体 mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位 sqrt。

Answer 2

可以这样理解，任意周期信号都是由无数的旋转角速度（ω）不同的旋转向量线性叠加。
时域上乘以复指数函数e^jω0t，相当于所有旋转向量的旋转速度都增加了ω0，旋转角速度变为ω+ω0。