分段函数f（x）=2/3·x^3,x≤1;f(x)=x^2,x>1.求x=1时的导数

Question

分段函数f（x）=2/3·x^3,x≤1;f(x)=x^2,x>1.求x=1时的导数，
此题为高数第六版，习题2-1，第7题，答案是左导数存在，右导数不存在，求解

Answer 1

f(1)=2/3函数在x=1处左连续，且[f(x)-f(1)]/(x-1)当x左边靠近1时候极限存在，所以左导数存在
f（x）在x=1处右极限为1不等于f(1)不连续，故不存在右极限追问

因为定义域是x≤1，f(x)存在，并可求出f'(x=1)有意义；但求解右导数时，因为x=1处左右极限不相等，所以右极限不存在？？？

追答

右导数不需要考虑左极限，在x=1处的右极限为1，而f（1）=2/3不连续，故右导数不存在

Answer 2

　　只需动手计算即可。
　　f(x) = (2/3)(x^3)，x≤1，
　　= x^2，x>1，
　　f'-(x) = lim(x→1-0)[f(x)-f(1)]/(x-1)
　　= lim(x→1-0)[(2/3)(x^3)-(2/3)]/(x-1)
　　= (2/3)lim(x→1-0)[(x^2)+x+1]
　　= 2，
　　f'+(x) = lim(x→1+0)[f(x)-f(1)]/(x-1)
　　 　　= lim(x→1+0)[(x^2)-(2/3)]/(x-1)
不存在。追问

f(1)=2/3.
x≤1,f‘(x)=x^2, ……此步对吗？？
f'(x=1-)=1…………此步对吗？？
x>1,f’(x）=2X……此步对吗？？
f'(x=1+)=2…………此步对吗？？
左右极限不相等，怎么判定左导数存在，右导数不存在

f'+(x)= lim(x→1+0)[(x^2)-(2/3)]/(x-1)，因为在X=1处，无意义，所以不存在导数？？

追答

　　（1）函数f(x)在R上每一点的定义已经很清楚：
　　f(x) = (2/3)(x^3)，x≤1，
　 　= x^2，x>1，
f 在 x = 1 的值取自 f 定义的上一支，即f(1) = 2/3。
（2）在 x 1,f’(x）=2x” 是正确的。
（5）“f'(x=1+)=2” 是错的。
（6）左导数的存在性由下式保证：
f'-(x) = lim(x→1-0)[f(x)-f(1)]/(x-1)
= lim(x→1-0)[(2/3)(x^3)-(2/3)]/(x-1)
= (2/3)lim(x→1-0)[(x^2)+x+1]
= 2。
（7）右导数的不存在性除了由下式：
f'+(x) = lim(x→1+0)[f(x)-f(1)]/(x-1)
= lim(x→1+0)[(x^2)-(2/3)]/(x-1)
不存在保证外，还可由 f 在 x = 1 非右连续得到。