求解大学线性代数证明题与解答题

Question

线性代数期末复习题
求两道题的详细解答步骤，谢谢！

Answer 1

一.
因为 a1,a2 是AX=0 的解
所以 a1+a2, 2a1-a2 也是 AX=0 的解.
因为 (a1+a2, 2a1-a2) = (a1,a2) K
K =
1 2
1 -1
|K| = -3 ≠ 0
故K可逆
所以 r(a1+a2, 2a1-a2) = r(a1,a2) = 2
所以 a1+a2, 2a1-a2 也是 AX=0 的基础解系.

二. 解: A =
1 -2 2
-2 -2 4
2 4 -2

|A-λE| =
1-λ -2 2
-2 -2-λ 4
2 4 -2-λ
=c2+c3
1-λ 0 2
-2 2-λ 4
2 2-λ -2-λ
=r3-r2
1-λ 0 2
-2 2-λ 4
4 0 -6-λ
=(2-λ)*
1-λ 2
4 -6-λ
= -(λ + 7)(λ - 2)^2
A的特征值为 -7, 2, 2

(A+7E)X=0 的基础解系为: a1=(1,2,-2)'
(A-2E)X=0 的正交的基础解系为: a2=(2,-1,0)',a3=(1,2,5/2)' --已正交
单位化得
c1=(1/3,2/3,-2/3)'
c2=(2/√5,-1/√5,0)'
c3=(2/√45,4/√45,5/√45)'

令T=(c1,c2,c3). 则T是正交矩阵, 满足 T^-1AT = diag(-7,2,2)

Answer 2

证明：（1）新得到的两个向量都是方程组的解：
A（α1+α2）=Aα1+Aα2=0
A（2α1-α2）=2Aα1-Aα2=0
（2）新得到的两个向量线性无关：
设k、m满足
k（α1+α2）+m（2α1-α2）=0
所以（k+2m）α1+（k-m）α2=0
所以k+2m=k-m=0
解得k=m=0

解答：求得特征值为-7、2、2
对应特征向量为（1,2，-2）'、（0,1,1）',(4,1,-1)'