微积分的一道证明题~！~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Question

如题所述

Answer 1

此类问题可以使用逆推法，此方法值得掌握：
直接根据结论部分构造新函数,通过结论表达式 很容易得到xf'(x) + f(x)=0
构造函数F（x）满足 F‘（x）=xf'(x) + f(x) = （xf(x)）'

不妨令F(x)=xf(x)
又 F(0)=0， F(1)=f(1)
另外 对f(1)表达式使用积分中值定理有： 在（0,1/2）内存在α使得
f(1)=2*(1/2 - 0)*α*f(α)=α*f(α)=F(α)
因此对F（x）在（α，1）区间内使用Roll中值定理，显然有：在（0,1）内存在点θ，使得F’(θ)=0
即结论得证。

望采纳。谢谢

Answer 2

由积分中值定理：至少存在a(a在0和1/2之间）使f(1)=af(a)
设F=xf(x)-f(1)，则：F(1)=0,F(a)=0,在区间[a,1]使用罗尔定理，至少存在θ：F‘(θ)=0
即：f(θ)+θf'(θ)=0，即：f'(θ)=-f(θ)/θ