怎么证明 a²＋b²＋c²≥ab＋ac＋bc

Question

求解！！！

Answer 1

(a－b)²=a²－2ab＋b²≥0
得：
a²＋b²≥2ab
同理，得：
b²＋c²≥2bc
c²＋a²≥2ac
三个相加，得：
2a²＋2b²＋2c²≥2ab＋2bc＋2ca
即：
a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ca

Answer 2

让f：f(a,b,c)=a²＋b²＋c²-ab-ac-bc
那么f(b,a,c)=a²＋b²＋c²-ab-ac-bc ,f(c,b,a)=a²＋b²＋c²-ab-ac-bc
f(a,b,c)=f(b,a,c)=f(c,b,a)，因此函数f是一个可交换函数，其极值与
f(x)(a=b=c=x)=x²＋x²＋x²-x*x-x*x-x*x=0的极值相同，而f(x)的极值为0，而且只有一个极值即为最值，那么原函数f的最值为0，当a=b=1，c=2时,f(1,1,2)=1>0，故0为最小值，则f>=0，证毕。

Answer 3

证明：
a²＋b²≥2ab；（当且仅当a=b取等号）(1)
a²＋c²≥2ac；（当且仅当a=c取等号）(2)
b²＋c²≥2bc；（当且仅当b=c取等号）(3)
三式相加2（ a²＋b²＋c²）≥2（ab＋ac＋bc）；（当且仅当a=b=c取等号）两边除以2原命题得证。

Answer 4

证明：
因为（a-b)²+(a-c)²+(b-c)²≥0
所以(a²-2ab+b²)＋(a²-2ac+c²)+(b²-2bc+c²)≥0
所有2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc≥0
所以2a²+2b²+2c²≥2ab+2ac+2bc
所以a²＋b²＋c²≥ab＋ac＋bc

由此可证a²＋b²＋c²≥ab＋ac＋bc。

Answer 5

由（a-b）² ≥0 （b-c）² ≥0（a-c)² ≥0展开可得
a²＋b²≥2ab

b²＋c²≥2bc
a²＋c²≥2ac

上式相加可得
2（a²＋b²＋c²）≥2ab＋2ac＋2bc

即a²＋b²＋c²≥ab＋ac＋bc