高等数学。设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0.

Question

设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0.求证：至少存在η∈（a,b）,使ηf(η)+f'(η)=0.

Answer 1

令F(x)=xf(x) F'(x)=f(x)+xf'(x)
显然满足罗尔定理的前2个条件
又因为
F(a)=F(b)=0
所以
至少存在一点η∈（a,b）
使得
F'(η)=0
即
ηf(η)+f'(η)=0.追问

F'(η)=0是f(η)+ηf'(η）=0啊，跟题目要求证的貌似不一样

追答

嗯，看错了，下面重新构造：
ηf(η)+f'(η)=0.

df(x)/dx=-xf(x)
1/f(x)df(x)=-xdx
积分，得
ln|f(x)|=-x²/2+ln|c|
f(x)=ce^(-x²/2)
e^(x²/2)f(x)=c
令
F(x)=e^(x²/2)f(x)

Answer 2

构造函数F(X)=e^(x²/2)*f(x)     且f(a)=f(b)=0

由题意知道   F(a)=F(b)=0   F(x)为可导函数

根据罗尔定理，在（a,b）至少存在一点η∈（a,b）,使得F'(η)=0

F'(η)=0=e^(η²/2)*[ηf(η)+f'(η)]=0

也就是ηf(η)+f'(η)=0.

Answer 3

构造函数F(X)=e^(x²/2)*f(x) ,满足罗尔定理,F'(η)=0=e^(η²/2)*[ηf(η)+f'(η)]=0.

Answer 4

对nf（n）＋f＇（n）＝0，等式两边同乘e的nx次方。设F（x）=xe（nx次方）f（x）。由F（a）=F（b），得F＇（x）=0，得证。字不好打，写的有点乱，大体思路是构造高数。

Answer 5

F(x)=f（x）e∧(x² /2)