y=1/2(e^ x+ e^- x)的反函数是什么？

Question

如题所述

Answer 1

y=1/2（e^x-e^-x）的反函数为y=ln(x+√(x^2+1))。

解：原函数为y=1/2*(e^x-e^(-x))

化解可得，2y*e^x=e^(2x)-1

e^(2x)-2y*e^x-1=0

令t=e^x，

则变为t^2-2yt-1=0

化简可得，(t-y)^2=y^2+1

解得t=y+√(y^2+1)，或者t=y-√(y^2+1)。

又t=e^x＞0，所以t=e^x=y+√(y^2+1)，

那么x=ln(y+√(y^2+1))

所以y=1/2（e^x-e^-x）的反函数为y=ln(x+√(x^2+1))。

扩展资料：

反函数性质

1、函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。

2、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

3、大部分偶函数不存在反函数。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

4、反函数的导数关系

如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导。

参考资料来源：百度百科-反函数

Answer 2

【分析】
本题考查求反函数，利用反解方程，属于基础题．
【解答】
解：y=
2
1
(e
x
+e
−x
)，
2y=e
x
+e
−x
，
e
x
−2y=e
−x
，
e
2x
−2ye
x
=1，
e
x
=y+
y
1
，
x=ln(y+
y
1
)，(y>0)
所以反函数为f
−1
(x)=ln(x+
x
1
)(x>0)．