已知数列an满足 a1=1 an+an-1=3*2^（n-2） (n≥2）（1）求数列an的通项公式an （

Question

已知数列an满足 a1=1 an+an-1=3*2^（n-2） (n≥2）（1）求数列an的通项公式an （2）求数列n/an的前n项和

Answer 1

设定模型: an + λ*2^(n-1) = -[ a(n-1) + Î»*2^(n-2) ]

展开得到: an + a(n-1) = -3λ*2^(n-2) (n≥2)

设  bn = an - 2^(n-1) (n≥1)

则 b(n+1) = -bn


而 b1 = a1 - 2^0 = 1-1 = 0

即 bn = 0 恒成立 得到 an = 2^(n-1)

设 cn = n/an = n*(1/2)^(n-1)

(1-1/2)Tn = 1 + Î£(i=2 to n)[(1/2)^(n-1)] -n*(1/2)^n

Tn/2 = Î£(i=1 to n)[(1/2)^(n-1)] -n*(1/2)^n

Tn/2 = Î£(i=1 to n)[(1/2)^(n-1)] -n*(1/2)^n

整理得到 Tn = 4 - (n+2)/2^(n-1)

追问

请问这是什么方法？构造法？我没学过，哪里学的？大概思路是？

追答

第一问根据模型构造, 第二问错位相减

追问

什么是模型构造？

追答

比如说有些数学模型很特殊, 有一个特定的关系. 举例说明:

上面举的例子就是一种模型.

话回原题, 因为指数模型很特殊(包括以后大学学微分方程就会发现)

对于这道题来说, 通俗的讲, 很容易两边"凑"出等比形式, 因为指数式可以"拆分"

3*2^(n-2) = 2*2^(n-2) + 2^(n-2) = 2^(n-1) + 2^(n-2)

也因此可以变换成能够构成前后项的两部分...

具体实践中还有更多的模型, 以后多做就知道了...

Answer 2

到现在都没人答，太慢了吧，我来
(1)这种其实先是要观察，看到2的次方，就要感觉和这个有关，
比如你可以写a(n+1)+an=3*2^（n-1)
an+a(n-1)=3*2^（n-2）
是不是能感觉到an和2的次方有关？
然后就直接除下去，要除也不能随便除，要和a本身的序数有关的除，
那么 a(n)/2^n+2a(n-1)/2^(n-1)=3/4
然后直接去 代换 b(n)=a(n)/2^n
就有 b(n)+2b(n-1)=3/4
写成这种形式基本也就搞定大半了，特征根方程弄出b(n)的形式然后再根据a1=1
就可以得出an=2^(n-1)

(2)算n/2^(n-1)也是有很多种方法的，主要的一种还是用减法，何谓减法呢？
设 c(n)=n/2^(n-1)
S=1/2^0+2/2^1+....+n/2^(n-1)
S/2=1/2^1+2/2^2+....+n/2^n
然后S-S/2=1/1+(1/2+1/4+.....1/2^(n-1))-n/2^n
S=(2^(n+1)-2-n)/2^(n-1)
说到底，“减法”就是一种逐项相减的办法，让n变成1来计算。追问

没那么简单，答案要考虑奇偶性的，分为当n为奇数时和当n为偶数时，不过答案最后都一样

追答

我逃过了很多步骤，包括了b(n)的通项计算，实际是要算出b(n)=c1+c2(-2)^n然后再带回an来计算，但这都是常规计算了，没什么意思。

追问

如此？复杂？

追答

常规解法=复杂解法，你当然可以直接从前几项就读出来an=2^(n-1),然后归纳证明，但是这是没有价值的。只有掌握常规解法才是百试不爽。