高中数学导数题

Question

如题所述

Answer 1

【第一题】
解：当a=1时
导函数 Φ ' (x) = [ (x²+x+1)·e^(-x) ] '
= (2x+1)*e^(-x) - (x²+x+1)*e^(-x)
= x(1-x)*e^(-x)
↑（注：上面用的是乘积的求导法，不明白请继续问）

令Φ ' (x) ≥ 0， 则 x(1-x) ≥ 0 ，解得0≤x≤1
即有，
当0 ≤ x ≤ 1时，Φ ' (x) ≥ 0，原函数Φ(x)单调递增；
当x ≥ 1或x ≤ 0时，Φ ' (x) ≤ 0，原函数Φ(x)单调递减

且，原函数Φ(x) 在x=0时取得极小值1，在x=1时取得极大值3e^(-1)

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【第二题】（定积分法）
解：首先求切线的方程
对g(x)求导， g'(x) = - e^(-x) ， 则g ' (0) = -1
∴过点(0,1)与曲线g(x)相切的切线方程为 y = - x + 1

画图可知，在积分区域(0→1)内
所求封闭图形面积 = ∫[e^(-x) - (-x+1)] dx
= - ∫e^(-x)d(-x) ＋ ∫(x-1)d(x-1)
= 【- e^(-x) + (x-1)²/2】|(0→1)
= [- e^(-1) + 0] - (-1+1/2)
= 1/2 - 1/e
≈ 0.132
（O(∩_∩)O哈哈~，够详细了吧。图太大了传不上，不明白我再传图给你(*^__^*) ）

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【第三题】（可参照第一题）
解：对Φ (x)求导
导函数 Φ ' (x) = [ (x²+ax+a)·e^(-x) ] '
= (2x+a)*e^(-x) - (x²+ax+a)*e^(-x)
= x(2-a - x)*e^(-x)

∵a＜2， 即2-a＞0

所以有，
当0 ≤ x ＜ 2-a时，Φ ' (x) ≥ 0，原函数Φ(x)单调递增；
当x＞ 2-a 或x ≤ 0时，Φ ' (x) ≤ 0，原函数Φ(x)单调递减

则，原函数Φ(x) 在 x =2-a 时取得极大值 Φ(2-a)

令Φ(2-a) = 3

代入化简得， (4-a)*e^(a-2) = 3…………………………………………（*）

画图可知，a ＜ 2时， (4-a)*e^(a-2)＜ 2，

∴方程（*）无解，即 可使Φ(x)的极大值为3 的参数a不存在。
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Answer 2

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