在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+1/n)an+(n+1)/2^n,求{an}通项公式

Question

如题所述

Answer 1

n+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2^n
两边同除以（n+1）得：a(n+1)/(n+1)
=an/n+
1/2^n
a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
因为bn=an/n,代入上式，
所以有bn+1-bn=1/2^n
因为a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n
所以an/n-a(n-1)/(n-1)=1/2^(n-1)
…………
a3/3-a2/2=1/2^2
a2/2-a1/1=1/2
等式两边累加可得：
an/n-a1/1=1/2+......+1/2^(n-1)
所以bn=an/n=a1/1+1/2+......+1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)(等比数列求和).

Answer 2

∵a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n=[(n+1)/n]*an+(n+1)/2^n

∴a(n+1)/(n+1)=(an/n)+1/2^n
令bn=an/n，∴b(n+1)=bn+1/2^n
bn=b(n-1)+1/2^(n-1)
b(n-1)=(bn-2)+1/2^(n-2)
......
b2=b1+1/2^1
b1=a1/1=1
将上述n个式子加起来，得
bn=1+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)
=1+(1/2)(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)
=1+1-1/2^(n-1)
=2-1/2^(n-1)
∵bn=an/n
∴an=n*bn=2n-n/2^(n-1)

Answer 3

由an+1=(1+1/n)an+(n+1)/2^n。有an+1/(n+1)=an/n+1/2^n,又可以变形为an+1/(n+1)+2/2^(n+1)=an/n+2/2^n.所以
an/n+1/2^n是一个常数列得到an/n+1/2^n=3/2所以an=3n/2-n/2^n

Answer 4

首先观察数列特征：a（n+1）=[(n+1)/n]an+(n+1)/2^n

我们将等式右边提出n+1，那么有

a(n+1)=(n+1)(an/n+1/2^n)

我们又把右边n+1移到左边得到

a(n+1)/(n+1)=an/n+1/2^n

再次移项得

a(n+1)/(n+1）-an/n=1/2^n
做到这里我们构造个数列bn=an/n，那么bn+1= a(n+1)/(n+1）
那么{ bn+1-bn=1/2^n,
当n=1，b2-b1=1/2

n=2，b3-b2=1/4
......................}将大括号内的式子相加得到
bn+1-b1=（1/2+1/4+........+1/2^n）=1-1/2^n....又带入a1=1
n=1，b1=1.。。。。。
所以bn+1=2-1/2^n
既是 a(n+1)/(n+1）=2-1/2^n
得到a(n+1)=（n+1）(2-1/2^n)
an=n[2-1/2^（n-1）](这是n大于等于2时)但当n=1带入此式子a1=1
所以an=n[2-1/2^（n-1）]