高等数学极限

Question

我对于函数极限的形式定义(δε语言)不是十分理解,希望各位可以帮帮忙,我也尽量解释清楚,谢谢.
1.原来学的函数极限定义(趋向于有限值)是当x无限趋向于c时,若f(x)无限趋向于L,那么limf(x)(x->c)=L.形式定义则是:对于任意ε>0,总存在δ>0,当0＜/x-c/＜δ时，/f(x)-L/＜ε,那么limf(x)(x->c)=L.也就是f(x)可以无限趋向于L,即ε无限小;可是形式并没有规定x趋向于c,因为定义只说存在δ,而并没有说δ随着ε变小呀?形式定义是不是不完全呢?举个例子,给定一个ε,去一个很小的δ,满足那些条件;再取一个较小的ε,由于上一个δ很小,这一个δ可以取的稍大一些,同样也可以满足那些条件.这样一来f(x)趋向于L了,但x却远离c了,和原来的定义矛盾了.我是想问形式定义中哪里体现了x趋向c这个概念的.
2.在一些用形式定义证明极限的题中,答案总是给为"=min{,}",我不太明白为什么要去其中一个最小的值?
例:证lim(x^2-9)(x->3)=0
取δ=1,解得δ=min{1,ε/7}
为什么要去最小的呢?这个答案是当δ=1时的,当δ为其他值或者ε为任意实数时这个答案都成立么,为什么?

我数学不是很好,谢谢大家了.

Answer 1

1.对于极限来说，就引用你说的：
举个例子,给定一个ε,去一个很小的δ,满足那些条件;再取一个较小的ε,由于上一个δ很小,这一个δ可以取的稍大一些,同样也可以满足那些条件.这样一来f(x)趋向于L了,但x却远离c了
最后一句不对，x并没有远离c，而是x的取值范围宽了，是这个范围内的所有x都满足，当然小范围的也满足，也就是说δ可以取的稍大一些都满足了，取小一点也就满足了
对于无限小的一个ε，只要存在δ，0＜/x-c/＜δ时满足，那么对于所有0<u<δ,当0＜/x-c/＜u时也满足/f(x)-L/＜ε
举个特例f(x)=3显然有limf(x)(x->c)=3
不管ε取多大，δ取任意正值都满足，当然δ取很小的时候也应该满足

2.取δ=1只是一个假设，用来做验证的，看δ=1满不满足，还需什么条件
在取δ=1以后，就是先假定0＜/x-3/＜1时成立，然后进行推导发现，除了要满足0＜/x-3/＜1以外，还必须满足0＜/x-3/＜ε/7就可以做到/f(x)-L/＜ε
即0＜/x-3/＜min{1,ε/7}时就是δ=min{1,ε/7}时/f(x)-L/＜ε必成立
像1里说的δ还可以取更小的值也都是对的

Answer 2

1.δ是由ε来描述，但δ不是ε的函数。若δ=f(ε)，根据函数的定义，对一个ε只能有一个δ来满足定义，也就是说比δ小的那些临域都不能成立，这是错的。函数的极限是x在某一个临域的事情。说的不是当ε减小时δ也减小，而是说δ有那么一个范围，当x-x0在这个范围内时，无论ε取的多么小，都会有|f(x)-c|<ε.因此对于那些小于这个δ的δ也满足定义。定义说的是会存在一个δ。即使这个δ很大，大到我们肉眼能看到，如δ=10，就有limf(x)=3(x→5),就是当
-5<x<15时满足极限定义。当f(x)=3常值函数显然满足。
2.为什么取最小的δ，定义说的是只要有一个δ，满足一系列条件，c就是极限。比如我们找到了一个δ，它满足定义，那么显然小于它的也满足定义的条件，我们的任务是找到一个δ，来证明c是极限，而不需要找到这个δ的范围，因此最小的δ足以满足定义的条件，即存在δ，而不用说δ的范围，δ的最大值是不必的。只要存在就行。
不用着急，这些慢慢就可以理解了，多问问老师

Answer 3

注意两点：
一是“任意”二字，对于任意的ε>0都可以,保证ε可以取足够小的值；
二是 0<|x-c|<δ这个范围。不是δ1<|x-c|<δ2，前面是大于0，而不是大于某个正数，也不能等于0，保证自变量取值范围是在c的去心邻域。

使用定义，证明lim(1/x)(x->0)时无极限
若有极限，设lim(1/x)(x->0)=L
先讨论x>0时的情况。若|1/x-L|<ε，当L>ε时，x取值范围为1/(L+ε)<x<1/(L-ε)；当L<ε时，x取值范围为x>1/(L+ε)。因此找不到δ，使得0<|x|<δ时|1/x-L|<ε总是成立，因为0<x<1/(L+ε)时|1/x-L|<ε不成立，就是说0<|x|<δ至少有部分区间不能使|1/x-L|<ε成立，这与极限定义的要求不符。
x<0时的情况讨论与此类似

极限的这个定义是把“无限趋近”这个意思表达清楚了，以前这个概念只可意会不可言传。

极限的ε-δ定义漂亮地解决了第二次数学危机，德国数学家魏尔斯特纳斯的最杰出贡献。微积分创立之时引入了无穷小的概念，但把无穷小一会当作0，一会又不当作0的做法违背逻辑，微积分的基础不牢固，不少人对有些数学家把某个变量既当0又不当0的做法嗤之以鼻。魏尔斯特纳斯极限的引入避开了似是而非的无穷小概念，使用了可以说清楚的极限定义，而不像以前对无穷小是0还是不是0说不明白，微积分理论在这个极限的定义下进行了重构，建立了一个无矛盾的微积分数学体系。

Answer 4

1.这个条件就是充要条件。
首先，对任意ε>0,存在δ>0，当0＜/x-c/＜δ时，/f(x)-L/＜ε,
然后对较小的0<ε'<ε,存在δ'>0,当0＜/x-c/＜δ'时，/f(x)-L/＜ε'<ε,
可以看到，满足后者的δ'也满足前者。
其次对一收敛于0的点列{εn}（n为下标），可以证明相应的{δn}(无论怎么取）都是收敛于0的，这个说明较长，你有兴趣再和我联系吧。
2这是个限制δ的问题。
在题中不应该是取δ=1，而是限制δ<1,即/x-3/=δ<1,,此时x^2-9=（x+3)(x-3)=(x+3)δ,这里限制δ<1的目的是估计（x+3)的范围，而又不影响δ
->0

Answer 5

0<|x-c|<δ就是你所说的x无限趋向于c.我们在这里说的是当自变量x人已接近有限值时的情况。对于x无限趋向于c可以这样理解：即x落在c的一个任意小的去心领域内，即就是所说的0<|x-c|<δ。而δ也是一个任意小的正数。
函数极限的定义是这样的：设函数f(x)在c的某一去心领域内有定义。如果存在常数A，对于任给定的正数ε （不论它有多么的小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-c|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式
|f(x)-A|<ε .
定义中的ε 已经是任意的了，所以你说的取一个较大和较小的ε 是不成立的。