抛物线y²=2px(p>0)的动弦AB长为a(a≥2p),求弦AB的中点M到y轴的最短距离。
【解】
设中点M的坐标为(x,y) ,A为(x+u,y+v),B为(x-u,y-v),
弦AB的中点M到y轴的距离就是M的横坐标x.
于是
(y+v)^2=2p(x+u),①
(y-v)^2=2p(x-u),②
(2u)^2+(2v)^2=a^2,③
①-②得:yv=pu,
u= yv/p,代入③可得:4 y^2v^2/p^2+4v^2=a^2,
所以v^2= (a^2 p^2)/( 4 y^2+ 4p^2),④
①+②得:y^2+v^2=2px,
将④代入上式可得:
y^2+(a^2 p^2)/( 4 y^2+ 4p^2) =2px,
所以x= y^2/(2p)+ (a^2 p^2)/[2p( 4 y^2+ 4p^2)]
= y^2/(2p)+ (p a^2 /8)/ ( y^2+ p^2)
= ( y^2+ p^2) /(2p)- p^2 /(2p) + (p a^2 /8)/ ( y^2+ p^2)
= ( y^2+ p^2) /(2p) + (p a^2 /8)/ ( y^2+ p^2)-p/2……利用基本不等式可得下式
≥2√[( y^2+ p^2) /(2p) * (p a^2 /8)/ ( y^2+ p^2)] -p/2
=2*(a/4) -p/2
=a/2-p/2
当且仅当( y^2+ p^2) /(2p) = (p a^2 /8)/ ( y^2+ p^2)时,取到最小值。
此时y^2=pa/2-p^2,
因为a≥2p,所以pa/2-p^2≥0,所以y^2=pa/2-p^2有解,最小值a/2-p/2能够取到。
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