求解一道微观经济学的问题

Question

已知效用函数为U=XY(X.Y分别表示X商品和Y商品的数量),商品X价格为1元.商品Y价格为4元.一个消费者预算为80元.
1.求效用最大化时.X,Y商品分别购买多少?总效用为多大?
2.如果商品X价格变为4元,要保持总效用不变.需要增加预算多少?

第二问不会做.谢谢大侠!

Answer 1

第一问你会回答了吧，求出来的答案是X=40，Y=10 ，还有U=400

那么第二问其实就是改写题目：已知U=XY，Px=4，Py=4，U=400，求预算是多少？

1.第一种方法：

就是和楼上相同的做法，而对于为什么MUx/Px=MUy/Py，这个应该这样理解：因为我们在经济学中求解这样的问题，都是将个人视为一定会做理性选择的；那么什么样的消费组合是他乐意接受的呢？必然是使得每一块钱在两种消费品上收货的边际效用是相等的。也就是说，如果消费在X上的每一块钱比消费在Y上的每一块钱给他带来更大的效用，那么消费者一定会将所有的钱都用来消费X的，因为X让他收获更大的效用。因此，只有在二者能够给他带来的效用相等时，对消费者才是合意的。那么就有了第一种方法的答案。如果还是不能理解，那么看看第二种可否接受？

2.第二种方法：

这个方法可能你们考试的时候不一定可以用，因为这是高级微观的一个分析思路,介绍一下而已：

在经济学中，效用最大化问题和支出最小化问题是一组对偶关系，即在给定支出下的效用最大化选择和在给定效用下的支出最小化选择是等价的。那么上述问题就可以转化为：

Min 4X+4Y

s.t. U=XY=400

由于在这种情况下，X与Y都不可能为0，因此条件式子：XY=400可以转换为X=400/Y

带入Min最小化问题则可得到 4*400/Y+4Y=1600/Y+4Y

然后求解上述算式1600/Y+4Y的最小值

（在此，特别注意的是，X和Y都是代表数量，必须是大于等于0的；同时由效用函数的形式可知道，如果X，Y中一者为0，效用肯定等于0，不可能为400，所以X和Y必须是大于0的整数，这个地方其实是不是整数无所谓，只是现实中肯定是啦）

那么借助一个公式：我们都学过这个（X-Y)(X-Y)>=0推导出：X*X+Y*Y>=2XY,因此，利用这个不等式关系对上述算式求最小值，我已经将公式的变形用mathtype编辑了，上传了图片，可以参考看看~在等号成立时取到最小值，即为160，所以可得预算增加数量是80~

不知道这样解释明白了吗？O(∩_∩)O哈！

Answer 2

MUx=Y, MUy=X
Y/1=X/4
X+4Y=80
所以X=40，Y=10
总效用为40*10=400
2. Y/4=X/4
U=XY=400
则X=Y=20
预算为20*4+20*4=160
预算增加80追问

Y/4=X/4这个是什么来的?

追答

不是一个价格变为4了么？
从MUx/Px=MUy/Py得来的

追问

MUx=Y, MUy=X 为什么这两个相等？
怎么从MUx/Px=MUy/Py得来Y/4=X/4的

追答

MUx=Y, MUy=X 为什么这两个相等？对效用函数求导得来的。
怎么从MUx/Px=MUy/Py得来Y/4=X/4的？价格都变为4了，所以。。

追问

价格相等了是不是边际效用就等于数量了?

追答

不是，这个跟数量没关系，只跟原始的效用函数有关系，你学过求导么？