高二数学利用函数单调性证明不等式

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第1个回答 2020-05-28

换个思路，分为二步证明之,可能更容易理解：
构造函数f(x)=x-sinx
0<x<π/2
f'(x)=1-cosx>0→f(x)单调递增
∴f(x)>f(0)=0
即x-sinx>0→x>sinx
构造函数g(x)=sinx-2x/π
0<x<π/2
g'(x)=cosx-2/π
驻点处x₀=arccos(2/π)
x∈(0,x₀)
g'(x)>0,g(x)单调递增→g(x)>g(0)=0
x∈(x₀,π/2)
g'(x)<0,g(x)单调递减→g(x)>g(π/2)=0
∴g(x)>0
即sinx-2x/π>0→sinx>2x/π
∴x>sinx>2x/π

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