已知向量a=(mx,8),b=(2x+2,-x),c=(1,0),函数f(x)=a*b+1,g(x)=a*c,若对于任意实数x
f（x）与g(X)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是
已知向量a=(mx,8),b=(2x+2,-x),c=(1,0),函数f(x)=a*b+1,g(x)=a*c,
若对于任意实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，
求实数m的取值范围
解：
f(x)=a*b+1
=(mx,8)*(2x+2,-x)+1
=2mx²+2mx-8x+1 （注意这里是向量的坐标乘法，与平常的代数运算有所区别）
=2mx²+(2m-8)x+1
g(x)=a*c
=(mx,8)*(1,0)
=mx
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满足“对任意实数x，f(x)与g(x)至少有一个正值”，可从以下三种情况分别考虑：
◆◆◆ 情况一：当m=0时 ◆◆◆
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f(x)=-8x+1,g(x)=0
可知在(1/8,+∞)区间，f(x)与g(x)均不能取得正值。不满足要求。m=0应排除。
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◆◆◆ 情况二：当m>0时 ◆◆◆
f(x)=2mx²+(2m-8)x+1 函数图像开口向上。
分以下三种情况讨论：
1、若判别式△<0，则f(x)>0，此时无论g(x)如何,f(x)均能满足题目要求。
即△=(2m-8)²-8m<0
(m-4)²-2m<0
m²-10m+16<0
(m-2)(m-8)<0
解得：2<m<8
2、若判别式△=0，则f(x)=2mx²+(2m-8)x+1 与x轴有唯一交点(此时交点的横坐标即为f(x)的对称轴)
△=(2m-8)²-8m=0
则m=2或m=8
x=-b/(2a)
=(8-2m)/(4m)
=(4-m)/2m
代入m值可得
x=1/2或-1/4
即当m=2时，在x=1/2处，f(x)=0，除此之外f(x)均大于0。此时g(x)=mx=2x，g(1/2)=2*1/2=1>0。
f(x)与g(x)在整个R区间一定有两函数值至少有一个是正值。此种情况可以保留。
当m=8时，在x=-1/4处，f(x)=0，除此之外f(x)均大于0。此时g(x)=mx=8x，g(-1/4)=-2<0。两函数无法保证在整个R区间至少有一个是正值。所以此种情况应排除。
3、判别式△>0，则f(x)=2mx²+(2m-8)x+1 与x轴有两个交点x1,x2 。(x1<x2)。在[x1,x2]区间之外，f(x)均为正值；在[x1,x2]区间，只要能保证g(x)为正值即可满足题目要求。
由△=(2m-8)²-8m>0
解得：m<2或m>8
又因m>0，
所以m∈(0,2)∪(8,+∞)
令f(x)=2mx²+(2m-8)x+1=0
根据求根公式可得：
x1=[(4-m)-√(m²-10m+16)]/(2m)
m>0使得g(x)在整个R区间是增函数，又因x2>x1，
所以只要考虑g(x1)>0即可保证g(x)在[x1,x2]区间为正值。
由g(x1)=m(x1)=[(4-m)-√(m²-10m+16)]/2 > 0
解：(4-m)-√(m²-10m+16) > 0
4-m > √(m²-10m+16)>0
16-8m+m² > m²-10m+16
-8m > -10m
上式在m>0时恒成立。
但又因 4-m>0 所以 m<4。
即若要使△>0，必须满足m∈(0,2)∪(8,+∞)；若要使g(x1)>0,必须满足m∈(0,4)。
综合起来，就是说，m∈(0,2)∪(8,+∞)∩(0,4),即m∈(0,2)时，可以保证f(x)与g(x)在整个R区间至少有一个函数是正值。
对第二大类3种情况总结一下，可知：
m∈(2,8)∪[2]∪(0,2)即m∈(0,8)时，在整个R区间，可以满足f(x)与g(x)至少有一个函数值是正值。
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◆◆◆情况三：m<0 ◆◆◆
f(x)=2mx²+(2m-8)x+1 开口向下，说明一定存在一个数a,使f(x)在区间(a,+∞)上的值小于0。另一方面，可以肯定m<0时，g(x)=mx是减函数，必然存在一个数b,使g(x)在区间(b,+∞)上的值小于0。所以在(a,+∞)∩(b,+∞)上，f(x)、g(x)的值均小于0，无法满足题目要求。m<0应排除。
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所以，总结以上三种情况，唯有 m∈(0,8) 时，才能保证在整个R区间上f(x)、g(x)两个函数的函数值至少存在一个正值。
图：
g(x)=a*c=mx
由于f(x),g(x)的值至少有一个为正数,
所以只要求出f(x)<=0,g(x)<=0就可得到答案的另外一面.
由于g(x)<=0(对于任何数x都成立)
所以m=0
所以所求的答案是: m属于R且m不等于0追问
你的答案和我的答案不同，真的很谢谢你!
追答我仔细看了下我的答案，可能考虑的不够全，呵呵。
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