已知数列an满足a1=1，a3+a7=18，且(an-1)+(an+1)=2an(n>=2)

Question

(1)求数列an的通项公式 (2)在平面直角坐标系内，设点P(an+1 /2，n^2+16)，n属于N*，试求直线OPn斜率的最小值(O为坐标原点)

Answer 1

(an-1)+(an+1)=2an说明an为等差数列
a1=1，a3+a7=18 1+2d+1+6d=18 d=2
an=a1+(n-1)d=2n-1

直线OPn斜率=(n^2+16)/an+1 /2
=(n^2+16)/[2(n+1)-1]/2
=(2n^2+32)/(2n+1)
=(2n-1)/2 +(63/2)/(2n-1)≥3√7
直线OPn斜率的最小值3√7

Answer 2

（1）(an-1)+(an+1)=2an(n>=2)
∴{an}是等差数列，设公差为d,
a3+a7=2+8d=18,d=2,
∴an=2n-1.
(2)OPn斜率k=(n^2+16)/n>=8,当n=4时取等号，
∴k|min=8.

Answer 3

解：（1）由(an-1)+(an+1)=2an知数列an为等差数列。设公差为d。则
a3+a7=18=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=2+8d，解得d=2.于是an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
（2）直线OPn斜率为
(n^2+16)/[(2n-1+1)/2]=n+16/n≥2√[n*16/n]=8