若同为n阶的A,B两个矩阵等价，它们的行列式相等吗

Question

如题所述

Answer 1

不一定相等。

n阶的两个等价矩阵A，B，它们的行列式差一个非零的常数倍，不一定相等。

由A，B等价，则存在可逆矩阵P，Q满足 PAQ=B

两边取行列式得 |P||A||Q|=|B|

令 k=|P||Q|，

则k≠0，且 |B|=k|A|。

扩展资料：

性质

1、矩阵A和A等价(反身性）；

2、矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

3、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

4、矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)

5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解。

6、对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

Answer 2

n阶的两个等价矩阵A,B
它们的行列式差一个非零的常数倍, 不一定相等.

由A,B等价, 存在可逆矩阵P,Q满足 PAQ=B
两边取行列式得 |P||A||Q|=|B|
令 k=|P||Q|, 则k≠0, 且 |B|=k|A|.本回答被提问者采纳

Answer 3

矩阵等价只能说明同型且秩相等，不能说明行列式相等，如果行列式相等又等价那就是相似了，相似一定等价，等价不一定相似，行列式也不一定相等了

Answer 4

存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价，充要条件就是R(A)=R(B) 。
从定义可以看出，矩阵等价仅仅是有相同的秩。如果可逆矩阵P、Q行列式乘积不为1，那么结论显然不对