n阶方阵A与B等价，它们的行列式一定相等么

Question

如题所述

Answer 1

所谓的等价就是他们的秩相等，通过初等变化从一个矩阵变成另外一个矩阵。一般来说，如果都是不满秩的情况，他们的行列式的值都为0，是相等的。如果秩是n，它们的行列式的值一般不相等。因为初等变化的交换两行或者将某一行乘以不等于0的系数，都将改变行列式的值。

Answer 2

首先明确矩阵等价的定义：
在线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。若存在可逆矩阵P、Q，
使PAQ=B，则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价，即A经过初等变换可得到B。
再来明确矩阵等价的性质：
矩阵A和A等价(反身性）；
矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；
矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）;
矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)
那么，A,B矩阵等价，那么A,B的矩阵行列式相等吗？
不用举例都可以明白，如果A经过初等变换可以得到B，那么这两个矩阵的矩阵行列式就不一定会相
等。因为这个只能说明两个矩阵的秩是相等的，而并没有涉及到值，所以这里不一定相等