为什麼实对称矩阵一定可以对角化？或者证明一下实对称矩阵的n个特徵值一定有n个线性无关的特徵向量？

Question

不用证明实对称矩阵的特徵值一定是实数，这个证明我看过了，就是找不到实对称矩阵对角化的证明，不要告诉我去找什麼清华牌的线代书，要找得到还用问吗？也不要说什麼记住就行不用求证，更不要说什麼证明了你也不懂，你会证明我就会懂。

Answer 1

对于n阶实对称矩阵Q，设以它的k个线性无关的特征向量为列构成的矩阵为U（U是n行k列）
下证明，如果k<n，总可以找到一个新的特征向量，这样可以不断添加直到找到Q的n个线性无关特征向量
将U补全为一个n阶正交方阵P=[U V]，则V是n行n-k列，且有U^TV=0和V^TQU=V^T[t1*u1...tk*uk]=0，其中ti是Q的特征向量。
考虑V^TQV，设它的一对特征值和特征向量是t和w，即V^TQVw=tw，则可以证明Vw是Q的一个以t为特征值的特征向量，理由如下：
只需证明两点：1)Vw与已有特征向量线性无关
2)QVw=tVw
对于1)，U^TVw=0w=0
对于2)，令r=QVw-tVw，由上文有V^Tr=0。而U^Tr=U^TQVw-U^TtVw=0-0=0（上文已证V^TQU=0），所以P^Tr=[U V]^Tr=0。由于P可逆，所以r=0，即QVw=tVw

Answer 2

说白了其实就是配方法。这是最原始的证二次型化标准型。高中应该就能懂