设y=y(x)是由y(x-y)2=x所确定的隐函数,求∫dx/(x-3y).谁会做啊，求详细过程

Question

如题所述

Answer 1

x=y(x-y)²→x/y=(x-y)²

令x-y=u，x/y=v

v=u²

x=y+u=x/v+u→x=uv/(v-1)=u³/(u²-1)

y=x-u=yv-u=u/(v-1)=u/(u²-1)

dx=[(u⁴-3u²)/(u²-1)²]du

x-3y=(u³-3u)/(u²-1)

∫dx/(x-3y)

=∫[(u²-1)/(u³-3u)]·[(u⁴-3u²)/(u²-1)²]du

=∫udu/(u²-1)=½∫d(u²-1)/(u²-1)

=½ln|u²-1|+C

=½ln|(x-y)²-1|+C

在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。F(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。

扩展资料：

在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。 

隐函数导数的求解可以采用以下方法：

方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；

方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；

方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；

方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

参考资料来源：百度百科——隐函数

Answer 2

x=y(x-y)²→x/y=(x-y)²

令x-y=u, x/y=v

v=u²

x=y+u=x/v+u→x=uv/(v-1)=u³/(u²-1)

y=x-u=yv-u=u/(v-1)=u/(u²-1)

dx=[(u⁴-3u²)/(u²-1)²]du

x-3y=(u³-3u)/(u²-1)

∫dx/(x-3y)

=∫[(u²-1)/(u³-3u)]·[(u⁴-3u²)/(u²-1)²]du

=∫udu/(u²-1)=½∫d(u²-1)/(u²-1)

=½ln|u²-1|+C

=½ln|(x-y)²-1|+C

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Answer 3

令t=x-y，详情如图所示

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