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    • 设A是n阶不可逆矩阵 证明 存在n阶非零矩阵B C 使得AB=CA=0

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    推荐答案   2011-11-06
    (1) A不可逆,故其秩小于n, 故可经过有限次行初等变换P1,P2,....Pk 变为第一行元素全为0的矩阵D
    D=(Pk).....(P2)(P1)A = QA, 设:Q=(Pk).....(P2)(P1)
    取 F为这样的矩阵: 其第一行,第一列的元素为:1,其余元素均为:0.则有FD=0.
    即FQA=0 .此时,可取:C=FQ,由于:Q可逆,故其第一行元素不全为0,故C=FQ非0.
    而有CA=0.
    (2)同理:
    A不可逆,故其秩小于n, 故可经过有限次列初等变换M1,M2,....Mh 变为第一列元素全为0的矩阵G
    G=AM1,M2,....Mh =AS, 设:S=M1,M2,....Mh
    仍取 F为这样的矩阵: 其第一行,第一列的元素为:1,其余元素均为:0.则有GF=0.
    即ASF=0 .此时,可取:B=SF, 由于:S可逆,故其第一列元素不全为0,故B=SF非0. 而有AB=0.
    证明完毕.
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