不定积分题目，求详解

Question

∫tanxd(1/sinx) 这个d后面意思就是对(1/sinx)求导是么?然后怎么解呢？

Answer 1

对，就求导，∫tanxd(1/sinx)=∫ sinx/cosx d (1/sinx)=∫ sinx/cosx *(-cosx/sin^2 x ) d x=∫ -1/sinxd x ,然后就直接套公式∫cscxdx=ln[ cscx-cotx]+c.呵呵 我也是初学的追问

∫ sinx/cosx *(-cosx/sin^2 x ) d x 请问这个是如何得到的？我有点晕了。谢谢！

追答

d (1/sinx)求导得到，就是对d后面的求导然后把求导结果拉到前面就ok。

追问

大哥，谢谢你！
意思就是d(1/sinx)=(1/sinx)‘dx对吧。谢谢！

追答

不是，d(1/sinx)求导之后为 -cosx/sin^2 x d x。

Answer 2

这是分部积分法的过程吗？ d(1/sinx)是对1/sinx求微分的意思，求导是d(1/sinx)/dx
∫ tanx d(1/sinx)
= tanx/sinx- ∫ 1/sinx dtanx
= (sinx/cosx)/sinx - ∫ 1/sinx * sec²x dx
= secx - ∫ cscx*sec²x dx
= secx - ∫ cscx*(1+tan²x) dx
= secx - ∫ cscx dx - ∫ 1/sinx * sin²x/cos²x dx
= secx - ∫ cscx dx - ∫ secx*tanx dx
= secx + ln|cscx + cotx| - secx + C
= ln|cscx + cotx| + C

Answer 3

“d后面意思就是对(1/sinx)求导是么?”
答：是的

∫cscxdx=in|cscx-cotx|=C
∫tanxd(1/sinx)
=tanx/sinx - ∫(1/sinx)d(tanx)
=1/cosx - ∫1/[(sinx)(cosx)^2] dx
=1/cosx - ∫ [(sinx)^2+(cosx)^2]/[(sinx)(cosx)^2] dx
=1/cosx + ∫1/(cosx)^2 d(cosx) - ∫1/sinx dx
=1/cosx - 1/cosx - ln|cscx-cotx|+C
= - ln|cscx-cotx|+C

Answer 4

=∫tanxdcscx
=-∫cscxdx
=-ln|cscx-cotx|+c

备注:dcscx=-cscx cotx dx
cotx *tanx=1
不用分部积分法追问

我想问下就是∫tanxdcscx=-∫cscxdx是怎么来的？

追答

备注:dcscx=-cscx cotx dx
cotx *tanx=1