已知函数f(x)=x/a-1/x(a为实常数)

Question

1.解关于x的不等式f(x)>0
2.当a=2时，判断并证明函数f(x)的单调性，并求函数在[1,2]上的值域。
（这是高一第一学期期末试卷上的解答题第二题）

Answer 1

（1）f(x)>0得到x/a-1/x>0，很显然x≠0
不等式左边通分得到(x²-a)/ax>0
上式等价于(x²-a)ax>0
分情况讨论，当a≤0时，x²-a>0，此时要求x<0
当a>0时，可以得到x∈(-√a，0)∪(√a，﹢∞)
(2)当a=2时，f(x)=x/2-1/x
由于x≠0，分x>0和x<0两边分别求解增减性，可以利用f(x1)-f(x2)进行求解，当然可以发现x/2和-1/x实际上在x>0和x<0两边分别都是递增的，因此f(x)=x/2-1/x在两个区间上分别为增函数。
求值域：f(1)=1/2-1=-1/2，f(2)=2/2-1/2=1/2
由于f(x)在[1,2]上为递增函数，因此在[1,2]上值域是[-1/2,1/2]
附：楼上的第一问当a<0时的解答有问题