xyz的和是1求xyz的平方和用柯西不等式

Question

如题所述

Answer 1

已知x+y+z=1，求x^2+y^2+z^2，
根据柯西不等式，有：(x^2+y^2+z^2)*(1^2+1^2+1^2)>=(x+y+z)^2=1
所以3(x^2+y^2+z^2)>=1，
x^2+y^2+z^2>=3，最小值为1/3，当x=y=z=1/3时取到最小值。

Answer 2

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx;
1=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)<=3(x^2+y^2+z^2);
所以：x^2+y^2+z^2>=1/3;
当x=y=z=1/3取等号

Answer 3

x+y+z=1,(x²+y²+z²)(1²+1²+1²)>=(x+y+z)²=1²=1,所以,x²+y²+z²>=1/3