已知函数f（x）=ax=inx,若f（x）大于1在区间1到正无穷大内恒成立，求实数a的取值范围

如题所述

第1个回答 2014-03-18

答：a>=1
请看分析：f(x)=ax-lnx,若f(x)=ax-lnx>1,在(1,+oo)上恒成立，
分离常数a即a>(1+lnx)/x在(1,+oo)上恒成立，
该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(1+lnx)/x,x>1.
补充定义h(1)=1,则易知h(x)在x=1处连续。求导易得h'(x)=-lnx/x^2<0,(x>1),得h(x)在(1,+oo)递减，
于是maxh(x)=(x-->1)limh(x)=h(1)=1,
由于x>1,故h(x)<h(1)=1,此时a须取等号，
故a>maxh(x),得a的取值范围：a>=1。此时命题就恒成立了

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